Ebben a cikkben a Pi (szám) témával foglalkozunk, amely ma nagyon fontos és érdekes. A Pi (szám) egy olyan téma, amely különböző területek szakértőinek és rajongóinak figyelmét keltette fel, mivel hatása a mindennapi élet számos területére kiterjed. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a Pi (szám) különböző aspektusait, relevanciáját a mai társadalomban, és azt, hogy hogyan befolyásolja életünket, munkánkat és kapcsolatainkat. Elemezni fogjuk világméretű következményeit, valamint időbeli alakulását, hogy jobban megértsük hatókörét és jelentőségét a mai világban.
Ez a szócikk a nevezetes irracionális számról szól. Hasonló címmel lásd még: Pi (egyértelműsítő lap).
A matematikai analízisben a körre való hivatkozás elkerülése érdekében szokás először a koszinuszt egy végtelen hatványsor összegeként definiálni, majd a -t a koszinuszfüggvény legkisebb pozitív zérushelyének kétszereseként rögzíteni.
A görög betű a „περίμετρος”(perimetrosz, azaz kerület) szót rövidíti. Ezt a jelölést először William Jones használta 1707-ben, majd Leonhard Euler által 1737-ben lett igazán ismert. A -t ritkábban Ludolph-féle számnak is nevezik, a német matematikus Ludolph van Ceulen tiszteletére, aki a -nek minél több tizedesjegyét próbálta meghatározni.
Mivel a irracionális szám (bizonyítás), tizedestört-alakja végtelen és nem ismétlődik periodikusan. Néhány tizedesjegynyi pontosság többnyire elegendő a mérnöki és tudományos munkákhoz, de modern számítástechnikai módszerekkel már 100 billió (1014) jegyét is kiszámították, mégsem fedeztek fel a számjegyek közt semmilyen mintázatot.
A értéke: , ahol n egy egységnyi sugarú körbe írt szabályos konvex sokszög oldalainak száma, a szabályos sokszöget alkotó n darab egyenlő szárú háromszög középponti szögének fele. A értéke megegyezik az ábrán látható citromsárgával jelölt háromszög területével. Minél több oldalú a sokszög, a pí értéke annál pontosabb lesz.
Ezután azt a lehető legkisebb pozitív valós számot jelölik -vel, amire teljesül, hogy
Története
Egyiptom
Az ókori Egyiptomban a a körterületének kiszámításakor jelent meg mint probléma. Már az i. e. 2000 körüli időkből származó egyiptomi Rhind-papiruszon található egy képlet a kör területének kiszámítására. Természetesen az egyiptomiak nem állandóként használták a pit, a számításaikban nem fordul elő olyan elem, ami azt valószínűsítené, hogy a kör területének és kerületének pi-szerű összefüggéseit felismerték. Egy megoldóképletet alkalmaztak, amelynek mai megoldása eredményezi a 3,14 számértéket.
„Példa egy kerek csűrre, amelynek (átmérője) 9, (magassága) 10. Vond le a 9-ből a kilenced részét, vagyis 1-et, a maradék 8. Szorozd meg 8-cal, ez lesz 64. Szorozd meg 10-zel a 64-et, ez lesz 640. Add hozzá a felét, ez lesz 960. Ez lesz az űrtartalma harban.”
ahol d a kör átmérője (a feladatban ezt még meg kell szorozni a magassággal, aztán pedig 1,5-del is, hogy a könyök hosszmérték és a har köbmérték közti váltás is megtörténjen, köbkönyökben 640 lett volna a végeredmény). Ebből a értékére a
közelítés adódik, ami ebben az időben csodálatos pontosságnak számított, és a jól eltalált kilencedből ered. Mivel az egyiptomiak néhány kivétellel csak egységtörteket alkalmaztak (vagyis olyan törteket, amelyeknek számlálója 1), és az 1/8, illetve 1/10 már feltűnően rossz eredményt adna, ezt a matematikai eredményt egyszerű próbálkozással elérhették. 1/10-del 2,56, 1/8-dal 4,0 lett volna az eredmény.
Mezopotámia
Ugyanekkor Mezopotámiában a és a lényegesen durvább közelítő értéket használták. Ez utóbbit a zsidók is átvették, a Bibliában is megjelenik (Kir. 7:23). Az ókorban szinte minden országban, minden matematikával foglalkozó tudós más és más közelítést alkalmazott.
Görögország
Az ókori görögök felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik, amelynek alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara. Ezzel a nem csupán körterület, hanem a körkerület kiszámításával is kapcsolatba került. Arkhimédész a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a közelítésig pontosította elődei eredményét (3,140845-3,142857). Az Arkhimédész becsléséből származó (3,142857) közelítésnél pontosabb eredményre jutott Klaudiosz Ptolemaiosz: (3,141667).
Kína
Kínában a földmérők a értékkel számoltak: Az i. e. 2. században készült összefoglaló munkában (Matematika kilenc könyvben) szerepel az a becslés, miszerint a kör területe a köré írt négyzetének -e, ebből pedig adódik.
Ugyanakkor a gömb térfogatát a képlettel számolták, ami a közelítésnek felel meg.
A Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Hszin csillagász (időszámításunk kezdete körül) hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében először, hogy törvény szabta meg a értékét.
A II. és III. század fordulóján Csang Heng jutott arra a becslésre, hogy a kör kerületének és a köré írt négyzet kerületének aránya 5:8, ami a közelítéshez vezet. A III. század végén Vang Fan a közelítést használta, ugyanakkor Liu Huj a d=100 átmérőjű körrel számolva Arkhimédész módszerével, de nála pontosabban a közelítést adta, melyet a 3072 oldalú szabályos sokszög oldalainak kiszámításával kapott.
Később Cu Csung-cse (430-501) csillagász adott pontosabb becslést, számításra a közelítő törteket használta. (). A már 6 tizedesjegyig pontos értéket ad.
India
Az 5–6. század fordulója körül alkotó Árjakhabata alkalmazta a helyes összefüggést a kör területe, kerülete és átmérője között:
de a gömbtérfogatának és a főkör területének kapcsolatára a hibás képletet adja meg, ami a közelítést adja. Ugyanakkor a feladatok kidolgozásánál ő maga is az akkor általánosan használt 3,1416 értékkel számol, ami a hinduk által kapott 9 tizedesjegyre pontos becslés kerekítése. A numerikus közelítések mellett említést érdemelnek a -vel kapcsolatos konvergens sorok, köztük a később Európában újra felfedezett Leibniz-sor -hez konvergáló sora. Ennek közelítésre használt részösszege a a Ptolemaiosz-féle fentebbi becsléssel egyezik.
Iszlám országok
A perzsák 16 tizedesjegyig számították ki az értékét. Az arab matematikusok Arkhimédész módszerének alkalmazásával előbb 180 oldalú, majd 720 oldalú sokszöggel számoltak, de később kiderült, hogy számolási hibát ejtettek. Végül az 1424-ben befejezett munkájában (Értekezés a körről)Dzsamsid Gijászaddín al-Kási adott immáron helyes becslést a 228, azaz 268 435 456 oldalú sokszög kerületének kiszámításával. Eredményét babiloni hatvanados helyiértékes törtben 10 helyiérték pontossággal, azaz decimálisan 17 jegyig közölte (ez utóbbi versbe szedve a lenti ábrán látható):
Nyugaton a sokoldalú humanista, Nicolaus Cusanus1445–59 között több művében foglalkozott a körkerület kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél. Módszere kissé eltért Arkhimédészétől: Arkhimédész fix kerületű körbe és köré írt 3, 6, 12, 24, …, 3·2n oldalú sokszögekkel számol, Cusanus 4, 8, 16… oldalú fix kerületű sokszögekbe és köréjük írt körökkel.
Az sugarú körben középponti szöghöz tartozó körív hosszára a következő képletet adta:
1597-ben Adriaan van Roomen ismételte meg az arab Al-Kási eredményét. Ezzel egyidőben Ludolph van Ceulen (1550–1617) német származású holland matematikus1596-ban megjelent könyvében 60·233=515 396 075 520 oldalú befoglaló és körülíró sokszöget használt a értékének számításához. Ezzel a módszerrel húsz tizedesjegyig határozta meg a értékét, majd 1615-ben 32 jegyű közelítést publikált. Munkássága nyomán nevezik a -t „Ludolph-féle számnak”.
1873-ban William Shanks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedesjegyig számította ki, de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy Shanks az 528. tizedestől kezdve tévedett.
Ismeretesek olyan mnemotechnikai „versek”, amiknek szavai annyi betűt tartalmaznak, mint a soron következő számjegye.
A következő négy vers harminc tizedesjegyig adja meg a értékét:
„
Nem a régi s durva közelítés,
Mi szótól szóig így kijön
Betűiket számlálva.
Ludolph eredménye már,
Ha itt végezzük húsz jegyen.
De rendre kijő még tíz pontosan,
Azt is bízvást ígérhetem.
”
– Szász Pál, matematikus (1952)
„
Bír-e, érez-e ember nyugalmat,
Ha lelkét nehéz bús emlék zaklatja.
Szüntelen felhőbe burkolózó idő az,
Ami változni ámha akarna se tudhat,
Mert azt nem írhatja már le halandó kívánsága.
”
– Hajós György prof. közölte (1952)
„
Íme a szám: a görög periféria pi betűje. Euler meg Viètevégtelen összeggelközelít értékéhez.
Lám, őt már Egyiptom, Kína, Európa is akarta, hogy
„ama kör kerülete úgy ki lehetne számlálva”.
”
– Szikora Ágnes (2009)
„
Egy s négy a három gyermekei,
De vannak bőven még mások;
Sorunkat folytatva
Ezentúl halljátok:
Egy, öt meg kilences,
Majd kettes jő sorban,
Csak nem ezt jelentik így,
Ha versben szólottam.
”
– Moldoványi András (2019)
Az utolsó vers érdekessége, hogy a második versszakban (5-8. sor) szereplő számokat meg sem kell jegyezni, hiszen azok már bele vannak kódolva a vers elejébe a szavak hosszúsága által.
Az alábbi vers 48 tizedesjegyig követi a pi értékét.
„
Itt e szám, a sorok halmazába’,
és elrejt, tudom, oly tényt,
melyeket tudvalevő Ludolph rögzített.
Ezt, az itt elsorolt húsz számot,
és bizony azon túl sok tizedest,
azt is bízvást ismerteti.
Euler … pi jelölést alkalmaz, mert
e számsorok ezentúl a körnél gyakoriak!
Jól használva, kerületet fog alkotni száma...
”
– Pothurszky Géza (2015. február)
Pi-vers 150 tizedesjegyig
A valaha közölt pi-versek közül az alábbi a leghosszabb, amelyik valójában a piről, és annak keletkezéséről szól, és 150 tizedesjegyig készítette alkotója, Pothurszky Géza. A nullák helyén három pont ... szerepel.
Íme a szám, a híres, nevezetes pi,
melyet tudom már régen kutatnak.
Elismerve Ludolph számsorát
már az itt jegyzett húsz számon.
És tudjuk, vele sok kör kerülete
már az átmérők szorzatai.
Görög ... pi betűként: végtelen szám,
a kerületek hosszát e jellel számlálod!
Már bármilyen kerületet tud "lemérni" ezzel,
s ... jegye pontosan jó ... eredményt számlál majd.
Egyiptomi régi írás, Rhind-papirusza is
már ... emleget bizonyos, a körről való
... sekély, de meggyőző tudást.
Pi ... értékről tudósokon keresztül
rögzítve, Biblia is ismertet ...
Már Kína tudósaik, Cu Csung-cse,
Heng is, s a társaik ... tudták értékét számítani.
Indiában is e szám értékeit ... kutatták,
kilenc jegye (a sok pi számítás jó,
sőt) ... nagyon pontos, kész jegyeik.
... Európában rég' Novgorod járt élen.
Shanks, ... Matsunaga, Sharp, tudós ... elmék érdemeik az új jel
a hiteles pi érték adó száma.
Korunknak "gépe" ... számítja a pi értékeit.
”
– Pothurszky Géza, Sárospatak, 2015. május 12.
Egy angol változat 14 tizedesjegyig (figyeljük meg, hogy az első szó 3, a második 1, a harmadik 4, a negyedik 1... betűt tartalmaz):
„
How I want a drink, alcoholic of course,
after the heavy chapters involving quantum mechanics!
↑És csinála egy öntött tengert, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz sing volt, köröskörül kerek, és öt sing magas, és a kerületit harmincz sing zsinór érte vala körül.